Die Auswirkungen der digitalen Projektion

Moin,

Original von Elmar


Beispiel PC:
- Hey, du hast eine zu niedrige Display-Auflösung eingestellt?
- Echt? Woran siehst denn das?
- Na ja, Menu-Texte irgendwie unscharf.
- Ah ja. Ich hatte erst die automatisch eingestellte, aber da waren die Schriften so klein.
- Willst nicht mal umstellen, wirst sehen, das ist besser, knackiger?
- Nö, lass mal, ich habe mich soo daran gewöhnt.

Schon mal erlebt, so einen Dialog? Genauso wenig wie viele am PC mit der "richtigen" Auflösung zum Display gehen, machen sie sich im TV/Video Bereich Gedanken, wie aus einer Auflösung eine andere wird.

..die Realität!


(ach nee, lassense mal, Herr J- wir wollen uns ja nicht ständig umgwöhnen müssen..)

Original von Elmar
- Na ja, Menu-Texte irgendwie unscharf.
- Ah ja. Ich hatte erst die automatisch eingestellte, aber da waren die Schriften so klein.
- Willst nicht mal umstellen, wirst sehen, das ist besser, knackiger?
- Nö, lass mal, ich habe mich soo daran gewöhnt.

Kenn ich. Man könnte ja die Schrift größer machen.

Aber mal zum OP: Eigentlich machen es doch diese User *genau* nach Follgotts Anweisung: Sie befeuern das Panel mit einer kleineren als der nativen Ausflösung, und kommen somit in den Genuß der Hochskalierung.

@Follgott: so ganz leuchtet mir der Zweck der Untersuchung nicht ein. Du kannst meßtechnisch nachweisen, das mittels Interpolation die Quantisierungsverluste teilweise ausgeglichen werden können. Das wussten wir aber schon.
Ich kann jetzt lediglich eine Methode erkennen (die von Dir hier), wie man die Qualität einer digialen Wiedergabe digitalisierten Materials bewerten kann?

j.

Original von Caspar
Ich glaube das geht weit schneller als die Quellen da mitkommen, denk doch nur an die ganzen 720p Beamer zurück, damals gabs nur PAL/NTSC Scheiben

Hi,
das war bei mir grundlegend anders. Solange es nur Standard-TV gab, habe ich die TV-Projektion nur als Option für die Zukunft gesehen. Erst als ich bereits eine ganze Menge HD-Material hatte (und zwar mit 1080 Zeilen), habe ich mir einen 720-Zeilen Projektor geleistet. 1080-Zeilen-Beamer waren zu teuer und außerdem steckte diese Technik noch in ganz schön kleinen Kinderschuhen.

Auch heute könnten wir einen 4k-Beamer locker mit nativem Material versorgen. Allerdings nicht mit Videos sondern zunächst nur mit Standbildern aus Digi-Kameras. Also quasi eine Diashow in Diafilm-Qualität. Es dürfte auch nicht besonders lange dauern, bis die ersten Digi-Kameras auch 4k-Videos aufzeichnen können.

Hi,

interessante Ausführungen!

Nils, bedeutet das ein Panel die doppelte Auflösung von HD haben sollte?
Quasi 3840x2160....

1920x2160 habe ich an meiner Möhre schon mal getestet. Ist ganz normal und relaxed.....

Gruß Bernd

Original von RoBernd

Original von Caspar
Ich glaube das geht weit schneller als die Quellen da mitkommen, denk doch nur an die ganzen 720p Beamer zurück, damals gabs nur PAL/NTSC Scheiben

Hi,
das war bei mir grundlegend anders. Solange es nur Standard-TV gab, habe ich die TV-Projektion nur als Option für die Zukunft gesehen. Erst als ich bereits eine ganze Menge HD-Material hatte (und zwar mit 1080 Zeilen), habe ich mir einen 720-Zeilen Projektor geleistet. 1080-Zeilen-Beamer waren zu teuer und außerdem steckte diese Technik noch in ganz schön kleinen Kinderschuhen.

Auch heute könnten wir einen 4k-Beamer locker mit nativem Material versorgen. Allerdings nicht mit Videos sondern zunächst nur mit Standbildern aus Digi-Kameras. Also quasi eine Diashow in Diafilm-Qualität. Es dürfte auch nicht besonders lange dauern, bis die ersten Digi-Kameras auch 4k-Videos aufzeichnen können.

So unterschiedlich ist die Wahrnehmung Bei mir ging es "erst" 2006 los mit BBC HD, sorry mit Euro1080 konnte ich nie was anfangen, einfach vom Content der dort lief. Und HD Scheiben gibts ja erst seit 2 Jahren in Europa, da waren 720p Beamer imho schon lange "Standard"

Klar kannst Du nun mit "exotischem" Inhalt wie Diashows kommen, aber das ist doch - sorry wenn ich das so hart ausdrücke - nur eine Krücke, solange es nicht ein Consumerformat in 4k oder entsprechende TV Ausstrahlungen gibt ist man in der Auswahl der Inhalte halt *extrem* eingeschränkt. Nur um mal 4k zu demonstrieren, okay, aber nicht um das jeden Tag zu schauen - alles imho natürlich - daher erwarte ich 4k Consumer-Beamer *deutlich* vor 4k Consumercontent. Mal abgesehen von der großen Blu-ray Sammlung die dann ja nicht 1:1 ausgetauscht wird und auch noch gesehen werden will

@Follgott:
Gut, dann war ich ja nicht völlig auf dem Holzweg.
Das Fragezeichen fragte "Oder ist da noch mehr ?"

j.

Original von FoLLgoTT
Für Blu-ray ist allerdings eine weitaus höhere Auflösung notwendig, um eine halbwegs korrekte Rekonstruktion zu bekommen. Die Bursts der DVD zeigen ja, dass bei einem Oversampling oberhalb der zwei- bis dreifachen Auflösung nur noch wenig gewonnen wird.

Die Frage ist doch, ob man überhaupt noch etwas gewinnen kann, oder ob die Daten gar keine Rekonstruktion mehr zulassen. Die Interpolation muss ja den im Beispiel den Videolevel max/min erreichen. Möglichweise geben das ja die digital vorliegenden Werte gar nicht her.

Stichwort Rekonstruktion: Nicht nur die Raster-Auflösung ist wichtig, sondern auch die Farbauflösung. Es bringt relativ wenig, wenn ich über die Interpolation viele Zwischenpixel bestimmen kann, diese Zwischenpixel aber nicht die erforderlichen Farbunterschiede darstellen können. Dann erhalte ich faktisch keinen Unterschied zur einer niedrigeren Raster-Auflösung. (Banding eben)

Die sinnvolle Auflösung lässt sich ihmho so bestimmen

aufl = (Gewünschter Sichtwinkel auf Leinwand)/(Auflösung Auge)

Aus dem Sichtwinkel auf die Leinwand lässt sich dann der notwendige Sitzabstand und die Leinwandgröße bestimmen.

War das jetzt richtig?
Übrigens - den Tiefpass habe ich ja nicht kapiert.

j.

Original von FoLLgoTT

Original von jungspund
Die Frage ist doch, ob man überhaupt noch etwas gewinnen kann, oder ob die Daten gar keine Rekonstruktion mehr zulassen. Die Interpolation muss ja den im Beispiel den Videolevel max/min erreichen. Möglichweise geben das ja die digital vorliegenden Werte gar nicht her.

Das verstehe ich nicht. Was meinst du damit genau?

Wenn ich bei der Digitalisierung (des Sweeps) nicht jedesmal das Maximum/Minimun treffen, sonder immer zwei Punkte rechts und links daneben, gibt mir die digitale Infomation keinen Aufschluß darüber, ob die Rekonstruktion wieder einen Extrempunkt haben soll oder eine flache Linie ist. Im Bild: Schwarz das Signal, rot die Digitalisierung, Blau ein zulässige Interpolation.

Original von FoLLgoTT

Original von jungspund
Stichwort Rekonstruktion: Nicht nur die Raster-Auflösung ist wichtig, sondern auch die Farbauflösung.

Banding ist bei der Skalierung eher ein kleines Problem, schon eher bei der Farbraumkonvertierung. Externe Scaler arbeiten intern ohnehin in 10 oder 12 Bit, damit ist eine höhere Genauigkeit für die Interpolation

Ich wollte auch weniger auf die Interpolation 'raus, die kann ich so genau machen, wie ich will. Ich wollte auf die Projektion hinaus. Wenn ich genauer interpoliere, als ein mein Panel darstellen kann, bringt die interpolation nichts.
Kann man Panel z.B. nur Videolevel in 3 Schritten unterscheidbar darstellen ( 16-19-22-usw), brauche ich auch nicht feiner interpolieren, da 16 und 17 sowieso das "gleiche schwarz" abgeben. (Ich hab' halt nur'nen TX-100 mit Banding .... )


j.

Original von jungspund

Original von FoLLgoTT

Original von jungspund
Stichwort Rekonstruktion: Nicht nur die Raster-Auflösung ist wichtig, sondern auch die Farbauflösung.

Banding ist bei der Skalierung eher ein kleines Problem, schon eher bei der Farbraumkonvertierung. Externe Scaler arbeiten intern ohnehin in 10 oder 12 Bit, damit ist eine höhere Genauigkeit für die Interpolation

Ich wollte auch weniger auf die Interpolation 'raus, die kann ich so genau machen, wie ich will. Ich wollte auf die Projektion hinaus. Wenn ich genauer interpoliere, als ein mein Panel darstellen kann, bringt die interpolation nichts.
Kann man Panel z.B. nur Videolevel in 3 Schritten unterscheidbar darstellen ( 16-19-22-usw), brauche ich auch nicht feiner interpolieren, da 16 und 17 sowieso das "gleiche schwarz" abgeben. (Ich hab' halt nur'nen TX-100 mit Banding .... )

Doch Du kannst dithern, sprich wenn Du einige Pixel mit 17 hast (in Deinem Beispiel), dann könntest Du zwischen die 16er Pixel einige einstreuen mit 19 und genau das macht madVR/ffdshow(im neuesten Build)/externe Scaler - auch hierbei ist es natürlich vorteilhaft so viel Auflösung auf der Ausgabeseite zu haben wie nur möglich.

Hallo, follgott

Das mit dem Grundprinzip des Oversampling verstehe ich. Man sieht es schon an verpixelten und unleserlichen Schriften, die durch die Umrechnung in eine deutlich höhere Auflösung auf einmal leserlich sind, wenn auch nicht so scharf, wie es im Original vielleicht mal der Fall gewesen ist.

Aber das mit der Sinc-Funktion kapier ich nicht. Ich habe zwar gegoogelt, aber was ich da gefunden habe ist deutlich zu hoch für mich. Für mein Verständnis ist es im Moment (noch) so, dass die Nyquistfrequenz die Grenze setzt und in diesem Fall alle Bilddetails darüber hinaus abgeschnitten werden. Eben Tiefpass. Durch das Oversampling bekomme ich das Bild zwar weicher und kann Informationen erahnen, die ich vorher so nicht erkannt habe, aber eine vollständige Rekonstruktion ist das für mich eigentlich auch wieder nicht.

Kannst Du dein letztes Posting noch mal einfacher schreiben, so dass ich es verstehe?

MfG
Michael

Original von Michael_B
Durch das Oversampling bekomme ich das Bild zwar weicher und kann Informationen erahnen, die ich vorher so nicht erkannt habe, aber eine vollständige Rekonstruktion ist das für mich eigentlich auch wieder nicht.

Der Fehler liegt eben darin, dass angenommen wird eine 1:1-Reproduktion des digitalen Signals würde zumindest alle Informationen enthalten, die vorhanden sind. Tatsächlich sind deine digitalen Pixel aber flächig und rechteckig und erzeugen dadurch Oberfrequenzen. Die einzelnen Sample-Werte des digitalen Signals sind eben nicht das Signal, sie sind nur Stützstellen des Signals. Und Stützstellen sind theoretisch unendlich klein. Daraus kann man dann auch folgern, dass die Pixel unendlich klein sein müssen, damit man exakt rekonstruieren kann.

Und genau das sagt auch das Nyquist-Shannonsche Abtasttheorem. Es sagt nicht nur, dass man mindestens die doppelte Abtastrate der Bandbreite haben muss, sondern auch (aus Wikipedia geklaut):

damit man aus dem so erhaltenen zeitdiskreten Signal das Ursprungssignal ohne Informationsverlust (aber mit unendlich großem Aufwand) exakt rekonstruieren und (mit endlichem Aufwand) beliebig genau approximieren kann.

Und hier ist eben der "Aufwand" das Problem um "exakt rekonstruieren" zu können. Wenn man nur die Sample-Werte rausschickt, dann ist es alles andere als exakt.

Und das sowas wirklich enorm viel bringt, wurde von Björn Roy ja mal niederschmetternd gut aufgezeigt. Ich finde leider gerade auf die Schnelle nicht den betreffenden Thread aus dem AVS-Forum, aber seine Screenshots sind auch hier zu sehen: htguide.com/forum/showthread.php4?t=4435

Da würde ich nicht mehr von "unscharf" reden. Alles andere ist eben einfach nur Mist in unterschiedlichen Abstufungen.

Hi,
ich versuche es einmal:

1. Es ist ausgeschlossen, bei der Digitalisierung immer zwei Punkte rechts und links vom Maximum zu erwischen. Das würde bedeuten, das übetragene Signal wäre gerade die doppelte Abtastfrequenz. Wegen des Eingangsfilters (vor der Digitalisierung) darf es die aber nicht mehr geben.

2. Bei der Wiedergabe ist nach der D/A Wandlung ein steilflankiges Filter eingesetzt. Das sorgt dafür, dass auch dann ein Sinus heraus kommt, wenn die übertragene Frequenz nur wenig unter der halben Abtastfrequenz liegt.
Oversampling ist ein Teil des Filterprozesses. Entsprechende steilflankige analoge Filter sind teuer oder unzuverlässig. Das Oversampling erlaubt es, digitale Filter zu verwenden.

3. Was passiert eigentlich, wenn das Original gar kein Sinus ist? Wenn also z.B. eine Periode zwischen zwei aufeinander folgenden Maxima (eines angenommenen Sinus) fehlt, also durch eine horizontale Linie ersetzt ist.
Sofern die Frequenz der Sinus-Anteile knapp unter der halben Abtastrate liegt, kann es auch diese Signalform nicht geben, weil sie höhere Frequnzanteile hätte als sie das Eingangsfilter durchlässt. Entsprechend seiner Spezifikationen (obere Grenzfrequenz) kann das System diese Kurvenform nicht reproduzieren.

4. FoLLgoTT möge mich korrigieren, wenn es so nicht stimmt

Hallo

Also geht nicht nicht mal unbedingt darum, Informationen oberhalb der Nyquistfrequenz wieder zu bekommen sondern vor allem die Frequenzen im eigentlichen Nutzbereich komplett zu rekonstruieren, weil die digitalisierten Daten mit zunehmender Frequenz immer ungenauer werden, je näher sie sich der oberen Nutzbandgrenze annähern. Komme ich der Sache jetzt näher?

MfG
Michael

Hi Michael,
wenn Du Deine Feststellung schärfer formulierst, triffst Du den Nagel auf den Kopf:

Der Nutzbereich liegt prinzipiell unter der Nyquistfrequenz (halbe Abtastfrequenz). Erhält der A/D-Wandler Signalanteile darüber, gibt es eine fehlerhafte Abtastung (Aliasing). Deshalb MUSS ein Eingangsfilter alles über der Nyquistfrequenz abschneiden.

Die Nyquistfrequenz (und alle Frequenzen darüber) muss theoretisch vollständig unterdrückt sein. In der Praxis sind Filter nicht beliebig steil, deshalb ist die spezifizierte obere Grenzfrequnz eines Systems immer deutlich niedriger als die Nyquistfrequenz. Beispiel Audio: Abtastrate 44.1 kHz, Audio-Grenzfrequenz 20 kHz. Das Eingangsfilter sollte 20 kHz vollständig durchlasen, 22 kHz (und darüber) aber vollständig unterdrücken.

Hallo,
in der neuesten Audiovision (12-2009, Seite 90) nimmt Florian Friedrich zu FoLLgoTTs Ausführungen Stellung.
Neue Erkenntnisse kann es naturgemäß nicht geben.

Hallo,

habe den Thread erst jetzt entdeckt. Hochinteressante Beitraege.

Noch vermag ich der Sache zu folgen.


Was ist allerdings das Fazit?
- Verlagern der Filter von der Produktions- in die Re-Produktionskette (oder umgekehrt) oder auch die Position innerhalb der jeweiligen Verarbeitungskette aendern?
- Hinzufuegen eines auf das Wiedergabemedium angepassten Tiefpassfilters mit hoher Guete?
- Moeglichst hochaufloesende Displays oder Projektoren zu verwenden?

Was waere ideal, was ein vertraeglicher Kompromiss?

Gruesse,

Juergen

FoLLgoTT schrieb:

@RoBernd
Es ehrt mich sehr, dass du meinen Beitrag in dem Leserbrief erwähnt hast! Danke!


Ich habe allerdings noch einige Anmerkungen zu Florians Antworten.

1. Er schreibt, dass Skalierung nur Vorteile bringt, wenn die Zielauflösung mindestens doppelt so hoch ist. Und sonst die höchsten Frequenzen bedämpft werden.

Das ist so nicht korrekt. Wenn man die Messungen zwischen 720x576 und 1280x720 vergleicht, wird ersichtlich, dass gerade die hohen Frequenzen beim skalierten Bild deutlich gleichmäßiger und mit höherer Amplitude wiedergegeben werden. Beim unskalierten dagegen werden sie gnadenlos von Aliasing überdeckt. Eine Skalierung ist also auch sinnvoll, wenn die Zielauflösung weniger als doppelt so hoch wie die Quellauflösung ist. Wie stark der Nutzen ist, hängt vom verwendeten Skalierungsalgorithmus ab.

Hallo Nils,

ich war so frei und habe wieder deinen originalen Sweep aus dem ersten Post genommen und um diverse Prozentzahlen vergrößert (Lanczos 10) und Waveforms davon gemacht (verkleinerte Bilder, Originale gibts hier):

000% (= Original):


001%:


010%:


020%:


030%:


040%:


050%:


080%:


100%::


Da kann sich nun jeder sein eigenes Bild machen ab wieviel Prozent Bildgrößenänderung die Frequenzen im hohen Bereich gleichmässiger werden. Ich kenne die Faustregel aus dem Printbereich wonach jede Umskalierung unter 30% Größenveränderung doch bitte zu unterlassen ist, sprich im Umkehrschluss ab 30% Vergrößerung wird das Bild "besser" - mal etwas platt ausgedrückt.
Die "ab 100% macht Skalieren Sinn" Meinung aus der Antwort zum Leserbrief teile ich auch nicht, das ist imho eine Urban Legend, die sich in diversen Foren auch hartnäckig hält und den Hintergrund hat das ja dann angeblich die Original Pixel 1:1 abgebildet werden können und nur die "Lücken" dazwischen interpoliert werden. Diesen Blödsinn will ich Herrn Friedrich auch garnicht unterstellen, aber ich kenne keine ernst zu nehmende Untersuchung zum Thema Skalierung wo >=100% Vergrößerung gefordert werden, vielleicht kann er ja mit irgendeinem Argument dafür aufwarten ?

FoLLgoTT schrieb:

2. Ich finde es gut, dass er als Vorteil von sehr hohen Auflösung die Geometriekorrektur genannt hat. Das ist z.B. für gekrümmte Leinwände wichtig.

Stimmt, so habe ich das im HK-Bereich noch nie gesehen. Trapezkorrektur zum Beispiel war ja absolut tabu.

Bei hinreichend hoher Auflösung ist eine Geometriekorrektur aber "problemlos" machbar. Was in dem Zusammenhang "hinreichend hohe Auflösung" konkret heißt, überlasse ich lieber den Mathematikern




Vielleicht wegen der Regel "Möglichst ganzzahlig skalieren - oder auf kommafünf, aber um Himmels Willen nichts Krummes" von früher. Keine Ahnung woher das kam und warum wir (ich) das geglaubt habe, denn die Algorithmen von heute hatten wir damals auch schon.

Das ideale fuer den Hausgebrauch waere doch ein dem Audissey-System fuer Audio entsprechendes System fuer die Bildwiedegabe.

Dann koennte doch die ganze Kette vom Wiedergabe-Medium beginnend, einschliesslich saemtlicher Hardware und ihrer Dekoder und Filter (Soft- und Hardware), bis hin zu den speziellen Eigenschaften des Projektors, der Leinwand und des Raumes optimiert werden. Optimiert aber eben nur bis zu dem Grade, den die gesamte Umgebung zulaesst.

Dann waere allerdings wieder so manche Einstell-Orgie faellig.

Die Frage ist dann halt nur, an welchem Geraet die Einstellungen erfolgen sollten. So ganz trivial (und automatisiert) wie bei einem modernen AV-Receiver geht das wohl nicht.

Genau so auch wird es wohl ziemlich aufwaendig sein, einen einigermassen soliden und dabei preisguenstigen Sensor hinzubekommen. Der muesste ja dann schon fast - oder sogar mehr als - HDTV-Kamera Qualitaeten haben um die hier genannten Effekte einfangen zu koennen.

Gruesse,

Juergen

Jürgen, bezogen auf das ursprüngliche Thema (Auflösung, Skalieren, Filtern) und dessen aktueller Ausprägung (Geometrie) sehe ich eigentlich weder Bedarf noch sinnollve Umsetzbarkeit einer automatischen Einmessung.

Wohl aber, was die Farbwiedergabe angeht. Das kann echt nicht so schwierig sein, aus Soll- und Ist-Werten Korrektur-Werte zu ermitteln und diese (wo auch immer in der Kette) anzuwenden. Ich stelle es mir viel, viel einfacher, eindeutiger, zielsicherer und effektiver vor als die Audissey-Sache. Sensoren die für den Hausgebrauch reichen sind auch nicht mehr so teuer.

Das ist aber bezogen auf den Thread-Focus doch schon OT.

Die "ab 100% macht Skalieren Sinn" Meinung aus der Antwort zum Leserbrief teile ich auch nicht, (...) Diesen Blödsinn will ich Herrn Friedrich auch garnicht unterstellen, aber ich kenne keine ernst zu nehmende Untersuchung zum Thema Skalierung wo >=100% Vergrößerung gefordert werden, vielleicht kann er ja mit irgendeinem Argument dafür aufwarten ?

Auch wenn ich nicht Herr Friedrich bin, möchte ich ein paar Gedanken dazu äußern.
Testbilder vom Waveform-Monitor sind ja schön und gut. Ich nutze sie auch immer wieder gerne. Doch am Ende zählt das, was auf der Leinwand zu sehen ist.
Die "ganzheitliche Pixelvergrößerung" macht nämlich in vielen Fällen durchaus Sinn. Als Beispiel soll hier mal die anamorphe Cinemascope-Projektion dienen. Bei Nutzung eines Anamorphoten muss das Bild vertikal gestreckt werden, damit später das Seitenverhältnis auf der Leinwand wieder stimmt. Der Faktor beträgt rund 33%. Liegen nun Bildsignale an, auf denen z.B. horizontale Linien mit 1-Pixelgröße um 33% gestreckt werden, kommt am Ende immer ein krummes Ergebnis raus. Der "Skaler" muss sich entscheiden, ob diese Linie unverändert belassen wird oder auf 2 Pixel vergrößert wird. In der Praxis kommen da unterschiedlich breite Linien zustande. Das kann jeder mit einem entsprechenden Testbild auf seiner Leinwand reproduzieren. Da ein Bild aber nicht nur aus horizontalen Linien besteht, werden auch alle anderen Bildinhalte entsprechend vertikal gestreckt. Diese "Skalierungsfehler" sind auf Testbildern gut zu erkennen. Im laufenden Filmbetrieb fallen sie allerdings weniger bis gar nicht auf. Das bedeutet aber, dass sie trotzdem vorhanden sind.

Diese Beobachtung besitzt natürlich auch Gültigkeit bei der Skalierung von einzelnen Pixel in alle "Richtungen". 576 Bildzeilen lassen sich halt nicht perfekt auf 720 oder 1080 Zeilen vergrößern. Das leuchtet jedem ein. Je nach Arbeitsweise eines Skaler sind zum Teil deutlich Fehler zu erkennen, weil einzelne Bildpunkte horizontal und vertikal in unterschiedlichen Verhältnissen "vergrößert" werden.
Genau so hab ich Friedrichs Aussage verstanden.

Doch. Mir nicht.

Die vertikalen (und leichter vorstellbar, da in unserer Vorstellung sequenziell hintereinander) horizontalen Pixel sind diskrete Samples eines BANDBEGRENZTEN, KONTINUIERLICHE Signales (= ohne Sprungstellen). Stellt man diese KONTINUIERLICHE Signal rechnerisch wieder her und tastet es neu mit mehr Samples ab, dann passiert nichts Unanständiges. Zwar machen die Themen Zweidimenisionalität und endliche Rechenleistung die Sache nicht ganz so banal - was aber nichts an der Basis der Betrachtung ändert.